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aire_polygone

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-12-08T11:50:40+00:00

Aire d'un polygone convexe [Version imprimable] Dans cet exercice, on traite d'un problème de géométrie : on souhaite calculer l'aire d'un polygone quelconque. Polygone : figure géométrique plane formée d'une ligne brisée (appelée aussi ligne polygonale) fermée, c'est-à-dire d'une suite de segments qui commence et termine en un même point.$(O;I,J)$$(x;y)$$(4;7)$$A$$B$$A \neq B$$(AB)$$C$$\overrightarrow{AB}$$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}$$x_{\overrightarrow{AB…

arbre_calcul

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-04-03T13:08:10+00:00

Arbre de calcul Lorsque l'on écrit un calcul comme $7 \times 6 + 4 \times (15 + 2)$, l'exécution des différents opérateurs se fait dans un ordre bien déterminé qui n'est pas a priori évident. Arbre représentant l'expression On peut créer un arbre dont les nœuds sont les nombres ou les opérateurs.$\pi$$x$

calcnpi

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-09-26T09:01:23+00:00

Calculatrice en notation polonaise inversée Considérons une expression comme "7 * 6 + 4 * (15 + 2)". On souhaite évaluer automatiquement une telle expression. La difficulté est que l'on ne peut pas évaluer au fur et à mesure de la lecture de l'expression.

compter_des

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-04-02T11:59:17+00:00

Compter des combinaisons Supposons que j'ai deux dés à 6 faces, que je les lance et que je fasse le total. Intuitivement, on devine que le score 7 est plus probable que le score 12. En effet, pour obtenir 12, le seul moyen est de faire un double 6 tandis que l'on aura un score de 7 avec 2 et 5 ou encore avec 4 et 3.$6^2 = 36$$6^3 = 216$$6^5 = 7\,776$$6^{10} = 60\,466\,176$$6^{20} = 3\,656\,158\,440\,062\,976$$$nombre(n, s, f) = nombre(n-1, s-1, f) + nombre(n-1, s-2, f) + \cdots + nombre(n-1, s…

convergenceversloinormale

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-02-15T09:10:48+00:00

Convergence vers la loi normale En probabilité, on observe qu'une somme d'aléas (hasards) tend à toujours s'approcher d'un aléa d'une forme standard. Cet aléa standard est appelé loi normale. Dans ce TD on veut mettre en évidence cette convergence vers la loi normale.

fft

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-04-03T13:23:19+00:00

Algorithme FFT - Fast Fourier Transform Au début du XIXe siècle, dans ses travaux sur la chaleur, Joseph Fourier propose une méthode pour transformer une fonction périodique en une somme de fonctions trigonométriques. Ce principe sera ensuite abondamment développé et se révélera d'une importance capitale en particulier en physique et en $F = 440\,Hz$$2F = 880\,Hz$$3F = 1320\,Hz$$$F = 440\,Hz\quad F\to 1 \quad 2F\to 0,3 \quad 3F \to 0,5 \quad 4F \to 0,2$$$T_e$$F_e = \frac{1}{T_e}$$T_e$$F_e$$F_…

geometrie_analytique

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-10-04T08:53:04+00:00

Des outils pour la géométrie analytique On désire mettre en place un outil de géométrie analytique qui nous permettrait de calculer des points d'intersections, des centres de gravités, des longueurs, des aires... C'est un bon exemple d'utilisation des classes et peut-être vu comme un prolongement de cet $(x\,;\,y)$$a\cdot x + b\cdot y + c = 0$$y = m\cdot x + p$

interieur_polygone

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-04-03T13:12:07+00:00

Un point est-il dans un polygone ? Dans cet exercice, on traite d'un problème de géométrie : on souhaite déterminer si un point est à l'intérieur ou à l'extérieur d'un polygone quelconque. Polygone : figure géométrique plane formée d'une ligne brisée (appelée aussi ligne polygonale) fermée, c'est-à-dire d'une suite de segments qui commence et termine en un même point.$(O;I,J)$$(x;y)$$(4;7)$

karatsuba

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-01-10T22:26:32+00:00

Algorithme de Karatsuba Page Wikipedia [Anatoli Karatsuba] Dans les années 1950, Andreï Kolmogorov -- grand mathématicien russe -- émet l'hypothèse que pour multiplier deux nombres de $n$ chiffres, on ne peut faire mieux que $n^2$ multiplications élémentaires à un chiffre, et des additions. Il en parla en 1960 dans un séminaire auquel assistait Anatoli Karatsuba. Celui-ci, une semaine plus tard, proposait son algorithme.$x$$\overline{ab}$$x = \overline{ab} = a \cdot 10^k + b$$x = 4\,639$$a = …

methode_euler

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-04-03T08:12:23+00:00

Méthode d'Euler Il s'agit d'une méthode de résolution numérique des équations différentielles. Par *numérique*, vous devez comprendre qu'on utilise une machine pour trouver une solution approximée. Que cherche-t-on ? Équation différentielle $f(t) + 5\cdot f'(t) = 10$$f(0)= 0$$t$$f(t)$$y$$t$$f(t)$$dt$$t + dt$$f(t + dt)$$df = f(t + dt) - f(t)$$f$$dt$$df$$dt$$f'(t) = \dfrac{df}{dt}$$f(0) = 0$$f$$f'$$f$$f'$$f''$$$f(t) = 10\cdot(1 - \exp\left(-\frac{1}{5}t\right)$$$y + 5 y' = 10$$y(0) = 0$$y' = \d…

polynome_solver

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-03-10T09:58:42+00:00

Solveur d'équation polynomiale Soit un polynôme de degré $n$. Par exemple $n = 7$ avec le polynôme $$P(x) = 2x^7 -4 x^5 + 3x^4 + x^2 - x + 9$$ On souhaite déterminer les racines de $P$, c'est à dire les solutions $P(x) = 0$. En général, on ne peut espérer trouver les valeurs exactes de ces racines. On se contentera donc d'approximations.$x^i$$2x^7 -4 x^5 + 3x^4 + x^2 - x + 9$$[a\,;\,b]$$\mathbb{R}$$[-M\,;\,M]$$M = 1 + max(|a_i|)$$a_i$$\mathbb{R}$$[-M\,;\,M]$$P(x)$$x$$P(x)$$x$$a$$b$$P(a)$$P(b…

racine_dichotomie

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-03-14T15:55:38+00:00

Recherche par dichotomie La méthode de recherche par dichotomie consiste à chercher une valeur dans une liste en réduisant progressivement la taille de la liste. Dichotomie signifie couper. On coupe la liste de recherche en deux ce qui la réduit très rapidement.$f(x) = -\frac{x^3}{4} + \frac{9\,x^2}{2} - 13\,x - 59$$[0;10]$$[0;10]$$f(0) = -59$$f(10) = 11$$f(x) = 0$$x\in[0;10]$$[0;10]$$5$$f(5) = -42,75$$[5;10]$$[5;10]$$7,5$$f(7,5) = -8,84375 < 0$$[7,5;10]$$f(0)$$f(10)$$0$$10$$f(0)<0$$f(10)>0$$0$…

racine_newton

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-04-03T13:15:16+00:00

Méthode de Newton La méthode de Newton consiste à chercher une racine de fonction. La seule condition est que la fonction soit dérivable sur tout l'intervalle considéré. Exemple Considérons la fonction $f: x \mapsto 0,5\,x^4 - 2\,x^3 + x^2 + x +1$ Tracé de la fonction Commençons par tracer la fonction. On peut bien sûr utiliser un grapheur comme $x = 1$$y = f(1) = 1,5$$y$$f(x)$$f(x)$$f'(x)$$f'(x) = 2\,x^3 - 6\,x^2 + 2\,x + 1 \Rightarrow f'(1) = -1 < 0$$f$$x = 1$$f(x)$$x$$f$$y = f(x) = 1,5$$…

suite_conway

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-04-03T13:39:26+00:00

Suite de Conway Principe Inventée en 1986 par John Conway, cette suite a une logique très simple. Il s'agit de commencer par 1 puis de lire. * 1 -> Je lis “un 1” donc le prochain élément sera “un un”, donc 11 * 11 -> Je lis “deux 1

suite_de_syracuse

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-10-02T10:59:40+00:00

Suite de Syracuse Présentation Dans la suite de Syracuse, on choisi un nombre entier $A$ puis on répète : * si $A$ est pair, $A$ prend la valeur $\dfrac{A}{2}$, * si $A$ impair, $A$ prend la valeur $3A + 1$. Exemple : on choisit comme nombre de départ $A = 7$. * on commence donc avec $A = 7$$7$$3A + 1= 22 \to A$$A$$\dfrac{A}{2} = 11 \to A$$3A + 1 = 34 \to A$$1 \leq B \leq A$

transformer_en_npi

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-04-03T13:07:52+00:00

Transformer une expression en notation polonaise inversée Partons d'une expression écrite sous la forme 7 * 6 + 4 *(15+2). Si vous avez fait l'exercice sur la Calculatrice en notation polonaise inversée, vous savez qu'il est possible d'écrire cette expression sous une forme qui rend l'ordre d'exécution plus facile à déterminer pour une machine :