On envisage le cas suivant : $H(p)=\frac{1}{1+2p+10p^2}$ ce qui correspond à l'équation différentielle :

$$10\,s''(t) + 2s'(t) + s(t) = e(t) \quad s'(0) = s(0) = 0$$

Nous voulons étudier deux approches (méthode de Newton et transformation bilinéaire)

La transformation bilinéaire donne de meilleurs résultats mais il nous faut une référence pour les comparer. Pour cela on, se place dans le cas $e(t) = \mathcal{U}(t)$.

Dans ce cas, on peut démontrer que :

$$s(t) = \mathcal{U}(t) - \exp\left(-\frac{t}{10}\right) \mathcal{U}(t) \left[\cos\left(\frac{3}{10}t\right) + \frac{1}{3}\sin\left(\frac{3}{10}t\right)\right]$$

• On se fixe un temps de simulation $T$. Par exemple ici $T = 1$.
• On se fixe un nombre d'échantillons $N$. Normalement, $N$ devrait être assez grand mais pour bien montrer la différence de qualité entre les deux méthodes, nous allons nous contenter de $N = 10$.
• On calcule donc le temps entre deux échantillons : $T_e = \frac{T}{N}$.

On calcule deux suites $s'_n \approx s'(n\cdot T_e)$ et $s_n \approx s(n\cdot T_e)$. On prend ici $s_0 = s'_0 = 0$. On peut aussi noter $e_n = e(n\cdot T_e)$

Ensuite on construit la récurrence :

• En utilisant l'équation : $s''_n = \frac{1}{10} (e_n - s_n - 2s'_n)$
• puis en interpolant la dérivée : $s'_{n+1} = s'_n + Te \cdot s''_n$
• et en interpolant encore : $s_{n+1} = s_n + \frac{T_e}{2} \left(s'_{n+1} + s'_n\right)$.

On passe de $H(p)$ à $\hat{H}(z)$ en remplaçant $p$ par $\frac{2}{T_e} \cdot \frac{1-z^{-1} }{1 + z^{-1}}$. Je vous épargne le calcule, cela donne :

$$\hat{H}(z) = \frac{T_e^2 + 2 T_e^2 \,z^{-1} + T_e^2 \,z^-2}{(T_e^2+4T_e+40) + (2T_e^2 - 80)\cdot z^{-1} + (2T_e^2-4T_e+40)\cdot z^{-2}}$$

Cette formule semble compliquée mais une fois $T_e$ fixé,

• on n'a aucune peine à fixé tous les coefficients,
• on déduitt une relation de récurrence liant $s_n$ à $s_{n-1}$, $s_{n-2}$, $e_n$, $e_{n-1}$, $e_{n-2}$
• on pose $s_0 = 0$ (donne de meilleurs résultats)