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Paradoxes
Le paradoxe du Barbier
Bertrand Russel, grand logicien du début XXe siècle, propose le paradoxe suivant :
Le conseil municipal d'un village vote un arrêté municipal qui enjoint à son barbier de raser tous les habitants du village qui ne se rasent pas eux-mêmes et seulement ceux-ci.
Qui va raser le barbier ?
La version mathématique du paradoxe s'écrit : $$N = \{x\,ensemble,\quad x\not\in x\}$$
Soit l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes.
$N$ est-il contenu dans $N$ ? La réponse est ni oui, ni non…
Construction axiomatique
Les paradoxes comme celui de Russell conduisent à chercher un langage plus rigoureux qui empêcherait de les énoncer.
C'est la crise des fondements des mathématiques. Certains en sont arrivés à rejeter le principe du tiers-exclus.
Le tiers-exclus est le principe selon lequel une assertion est soit vraie, soit fausse mais pas les deux et pas autre chose. Dans le paradoxe de Russel, $N \in N$ n'est ni vrai ni faux…
Quand il s'agit d'infinis, il arrive qu'au lieu de démontrer qu'une propriété $P$ est vraie, on démontre que $P$ ne peut être fausse (raisonnement par l'absurde). Mais dans le cas du paradoxe de Russel, prouver que $N \in N$ ne peut être faux ne permet pas de conclure que $N \in N$ est vrai…
David Hilbert propose d'adopter une approche axiomatique :
- On pose des vérités premières, les axiomes.
- Les démonstrations sont des enchaînements déductifs finis construits à partir des axiomes.
- Ainsi, on ne va pas se demander si une propriété est vraie, mais si elle est démontrable.