Approximation de pi par la formule de Leibniz - Gregory
La formule de Leibniz – Gregory nous dit que :
$$\pi = 4 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = 4 \cdot \left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots\right)$$
Justification de la formule. Un élève de terminale connaît les ingrédients nécessaires mais cela reste difficile. Voici comment on arrive à cette formule :
- justifier que $tan'(x) = 1 + tan^2(x)$
- On en déduit que $arctan'(x) = \frac{1}{1+x^2}$
- On en déduit que $\int_0^1 \frac{\text{d}x}{1+x^2} = \left[arctan(x)\right]_0^1 = \frac{\pi}{4}$
- On montre que $\frac{1}{1+x^2} = \left(\sum_{n=0}^N (-x^2)^n\right) + \frac{(-x^2)^{N+1}}{1+x^2}$ avec $0 < x < 1$. On peut pour cela utiliser les formules de suites géométriques.
- Dans la limite où $N \to +\infty$ on en déduit que $\int_0^1 \frac{\text{d}x}{1+x^2} = \sum_{n=0}{\infty} \int_0^1 (-x^2)^n \text{d}x$ ce qui permet de conclure.
La formule est exacte mais suppose une somme infinie ! Comme l'infini n'est pas à notre portée, on se contente de faire une grosse somme, ce qui revient à approximer.
$$\pi \simeq 4 \sum_{n = 0}^{N} \frac{(-1)^n}{2n+1}$$
À faire : écrire une fonction leibniz(N) qui calcule la somme précédente jusqu'à la valeur N. Vous pouvez tester en prenant N de plus en plus grand.
Cette formule a l'avantage d'être assez simple mais en pratique elle n'est pas d'un grand intérêt : Elle converge trop lentement. En effet,
- pour
N == 100, on arrive à $\pi \simeq 3.15$ ! - pour
N == 1000, on n'a encore que 2 bons chiffres après la virgule ! - pour
N == 1000000, on n'a seulement 5 bons chiffres après la virgule !
Vous vous doutez donc que pour obtenir plusieurs milliards de chiffres après la virgule, cette méthode ne va pas suffire…