Ensemble de Mandelbrot

Benoît Mandelbrot

Benoît Mandelbrot (1924 - 2010) est un mathématicien franco-polonais inventeur des fractales. L'ensemble qu'il a découvert, à la suite de son professeur Gaston Julia, est devenu un mème.

Les fractales sont un champ d'étude aux multiples applications. On peut citer la théorie du Chaos et la génération procédurale : Par exemple, dans les jeux vidéos, les fractales permettent de générer automatiquement des environnement riches, denses, comme des forêts de feuillus.

Définition de l'ensemble

La définition de l'ensemble utilise les nombres complexes et le plan complexe. Mais on peut comprendre sans avoir besoin de savoir ce qu'est un nombre complexe. Je vais donc adopter ici une description qui reste compréhensible même sans connaître les nombres complexes.

J'écrirais les coordonnées des points $(x ; y)$ comme s'il s'agissait d'un nombre $z$ et j'écrirais donc $z = (x ; y )$ ce qui ne respecte pas les notations mathématiques mais est compréhensible. Et pour aller jusqu'au bout de l'abus de notation, je parlerai indifféremment de point et de coordonnées comme si on pouvait dire point = coordonnées, ce qui, là encore, n'est pas tout à fait rigoureux.

On se place dans le plan doté d'un repère orthonormé. Les points ont des coordonnées $(x ; y)$. Comme dit dans l'avertissement ci-dessus, je nomme $z$ à la fois le point et ses coordonnées ce qui me permet d'écrire $z = (x ; y )$.

On considère une suite de points $z_n$ définis par récurrence :

$$z_{n + 1} = z_n^2 + c \quad ; \quad z_0 = (0 ; 0)$$

Ce calcul se fait avec les nombres complexes mais pour ceux qui ne connaissent pas je l'explicite. avec $z_{n+1} = (x_{n+1} ; y_{n+1})$ : $$x_{n+1} = x_n^2 - y_n^2 + x_c$$ $$y_{n+1} = 2 \cdot x_n \cdot y_n + y_c$$

Suite divergente ?

Les valeurs de $z_n$ n'ont pas d'importance par elles-mêmes. On veut juste savoir si la suite $z_n$ diverge ou non. Autrement dit, on veut savoir si $(x_n ; y_n)$ finit par s'éloigner infiniment de l'origine.

Prenons un exemple : si $c = (1 ; 1)$ alors la suite $z_n$ prend les valeurs :

$z_0 = (0 ; 0)$ ; $z_1 = (1 ; 1)$ ; $z_2 = (1 ; 3)$ ; $z_3 = (-7 ; 7)$ ; $z_4 = (1 ; 99)$ ; …

On voit que le point $z_n$ s'éloigne de l'origine. On dira que cela diverge.

Autre exemple, si $c = (-1 ; 0)$. Alors :

$z_0 = (0 ; 0)$ ; $z_1 = (-1 ; 0)$ ; $z_2 = (0 ; 0)$ ; $z_3 = (-1 ; 0)$ ; $z_4 = (0 ; 0)$ ; …

On voit que dans ce cas, $z_n$ oscille entre deux valeurs et donc ne s'éloigne pas indéfiniment de l'origine. Dans ce cas, cela ne diverge pas.

L'ensemble de Mandelbrot est l'ensemble des valeurs de $c$ pour lesquelles la suite $z_n$ ne diverge pas.

Ces points sont ceux en noir sur la figure en haut.

Donc $c = (1 ; 1)$ n'est pas dans l'ensemble de Mandelbrot. $c = (-1 ; 0)$ lui est dans l'ensemble.

Calcul pratique

Il est très difficile, pour un $c$ quelconque, de prévoir si la suite divergera ou non. Pour dessiner l'ensemble on se contente d'un critère simplifié.

On sait d'abord que si $|z_n| = \sqrt{x_n^2 + y_n^2} \geq 2$ alors la suite diverge.
On se fixe un nombre $N$, par exemple $N = 50$ ou $N = 500$.
On choisit la valeur de $c$ à tester,
on calcule les termes $z_n$ avec $0 \geq n \geq N$,
si on trouve un $|z_n| \geq 2$, alors c'est terminé, cette valeur de $c$ n'est pas dans l'ensemble. On pourra la représenté en blanc.
sinon, on considère que $c$ est est dans l'ensemble et on pourra le représenter en noir.

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