Convergence vers la loi normale

En probabilité, on observe qu'une somme d'aléas (hasards) tend à toujours s'approcher d'un aléa d'une forme standard. Cet aléa standard est appelé loi normale. Dans ce TD on veut mettre en évidence cette convergence vers la loi normale.

Les modules

On importe d'abord les modules qui vont nous servir.

from random import choice
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

Dé équilibré

On réalise une fonction qui simule un lancer de dé.

DE1 = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

def lancer(dé):
    '''
    renvoie une face de dé, chaque face étant équiprobable
    '''
    return choice(de)

Par exemple, on obtient :

>>> lancer(DE1)
4
>>> lancer(DE1)
3

La fonction permet de simuler n'importe quel dé.

On pourra simuler un dé à 10 faces par exemple en prenant DE = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10].
On pourra aussi simuler un dé pipé, par exemple DE = [1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6]. Avec ce dé, le 1 a 3 chances sur 8 d'apparaître.

Simulation et tracer

On veut lancer le dé un grand nombre N de fois et afficher la répartition des résultats, en fréquence, sous forme d'un diagramme.

N = 10000
essais = [lancer(DE1) for i in range(N)]

# affichage de la moyenne
m = np.mean(essais)
print("moyenne :",m)

# comptage des scores obtenus et des effectifs correspondants
valeurs, effectifs = np.unique(essais , return_counts=True)
# on préfère des fréquences :
freqs = [e/N for e in effectifs]
     
# figure
plt.figure()
plt.bar(valeurs, freqs)
plt.title('Répartition des scores')
plt.xticks(valeurs)
plt.xlabel('scores')
plt.ylabel('fréquence')
plt.show()

Sans surprise, chaque score de 1 à 6 arrive avec à peu près la même fréquence.

On a aussi affiché la moyenne. La valeur devrait être sans surprise.

2 dés, puis 3, puis...

Modifiez le programme (vraiment pas grand chose !) pour qu'à chaque essai, on lance 2 dés et on fasse la somme. Observez la courbe.

Recommencez avec 3 dés, puis 5, puis 10…

La loi normale apparaît. Observez également l'évolution de la moyenne.

Des dés pipés

Recommencez avec par exemple 5 dés différents.

La loi normale est toujours là. Observez la moyenne et essayez de l'expliquer.