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Imaginons une île sur laquelle on trouve une population importante de lapins. Soit $u_n$ le nombre de lapins, exprimé en millions – donc si $u_n = 0,495$, cela signifie qu'il y a 495 000 lapins – sur l'île l'année n.

On souhaite modéliser l'évolution de la population de lapins au cours du temps.

On peut supposer que en moyenne chaque lapin donnera naissance à k lapins de sorte que $u_{n+1} = k\,u_n$.

Il s'agit d'une suite géométrique dont le comportement n'est pas très intéressant :

• si k > 1, la population de lapins va croître indéfiniment,
• si 0 < k < 1, la population de lapins va décroître jusqu'à tendre vers 0

Il paraît raisonnable de supposer que le nombre de lapins ne peut croître indéfiniment. Quand les lapins deviennent trop nombreux, ils ont plus de mal à se nourrir et donc à se reproduire. On ajoute un facteur à notre modèle pour traduire cet effet.

$$u_{n+1} = k\,u_n\,(1 - u_n)$$

En conséquence, il faudra que $u_n \leqslant 1$ ce qui amène à la contrainte $k \leqslant 4$.

On résume donc ce modèle qui nous servira dans la suite :

• $0 < u_0 < 1$ que l'on pourra choisir – on pourra se demander si ce choix a de l'importance
• $0 < k < 4$ est un facteur représentant la fertilité des lapins
• $u_{n+1} = k\,u_n\,(1 - u_n)$

Ce modèle est très simple, il ne contient aucun calcul compliqué et il est entièrement déterminé – dès lors que l'on s'est fixé k et $u_0$ – et pourtant, il apporte de grandes surprises et notamment le chaos.

Fichier de base :

Écrire une fonction historique qui reçoit les arguments u0, k et Ntels que :

• u0 et k sont les deux paramètres précédemment évoqués,
• N est le nombre d'année de simulations demandées. On veut calculer jusque $u_{N-1}$.
• la fonction renvoie un tableau $\left[u_0, u_1, \cdots, u_{N-1}\right]$

Pour les besoins de ce qui suit, on souhaite pouvoir produire une version arrondie des résultats obtenus.

Écrire une fonction arrondir recevant en argument un tableau T contenant des nombres et renvoyant un tableau contenant les mêmes nombres mais arrondis à 3 chiffres après la virgule.

Pour les besoins de l'affichage, écrire une fonction affichage recevant

• un tableau T de nombres,
• un entier positif nb avec nb < len(T)

et qui affiche les nb dernières valeurs de T, arrondies à 3 chiffres après la virgule.

Faites une série de tests avec u0 = 0.85 et N = 10000 et à chaque fois visualisez les 10 derniers éléments de la réponse – correspond aux 10 dernières années.

• Faites l'essai pour k = 0.5, k = 0.8. Quelle différence ?
• Refaites l'essai en changeant pour u0 = 0.1. Quelle différence ?

Faites le même travail en testant les valeurs k = 1.5 et k = 2.5.

Faites le même travail en testant les valeurs k = 3.2, k = 3.5, k = 3.545.

Vous pouvez essayer k = 3.6.

Vous avez visuellement constaté que le tableau obtenu en fin de simulation pouvait présenter une période. Parfois 2, parfois 4…

On souhaite détecter automatiquement la présence d'une période.

Écrire une fonction has_period,

• entrée T, un tableau de nombres,
• entier strictement positif P, la période testée
• renvoie True si T présente deux répétitions identiques de P éléments à partir de la fin.

Vérifier que h = arrondir(historique(0.85, 3.5, 10000)) a bien une période de 4.

Écrire une fonction detect_period recevant un tableau T et qui renvoie la valeur de la plus petite période possible ou False s'il n'y en a pas.

Vérifier que pour le tableau précédent, detect_period(h) renvoie bien 4.

En parcourant les valeurs de k vous pouvez découvrir que

• pour k = 3.5, la période est de 4,
• pour k = 3.545, la période est de 8,
• pour k = 3.565, la période est de 16,
• pour k = 3.569, la période est de 32,
• pour k = 3.5698, la période est de 64,
• pour k = 3.5699, la période est de 128,
• …
• pour k = 3.57, il n'y a plus de période.
• De façon surprenante, un semblant d'ordre revient parfois. Par exemple, pour k = 3.82843, la période est de 3.

Ces résultats sont résumés par ce graphique. En ordonnée, x représente les valeurs prises asymptotiquement par $u_n$ et en abscisse, r est le facteur k.

Vous pouvez voir l'explosion de la période à partir de 3.5, et aussi des petits moments d'ordre vers 3.8.