Problème de refroidissement

Prenons une casserole pleine d'eau que l'on a mis à bouillir. Elle atteint donc la température $T_0 = 100$ °C. Puis on l'écarte du feu et on la laisse refroidir dans un environnement à $T_{ambiant} = 20$ °C. On se demande au bout de combien de temps elle retombera à température ambiante.

Le modèle

On fait l'hypothèse suivante : La température diminue d'autant plus vite qu'elle est éloignée de $T_{ambiant}$. Par exemple, quand la casserole est à 100 °C, c'est à dire à 80 °C de plus que l'air ambiant, elle se refroidit deux fois plus vite que quand elle est à 60 °C, c'est à dire à 40 °C de plus que l'air ambiant.

Ce choix revient à supposer que chaque seconde, la température $T$ de la casserole diminue d'une quantité $k\cdot (T - T_{ambiant})$ avec $k$ un certain facteur de proportionnalité qu'on ne connaît pas.

Sans information supplémentaire, on ne peut pas savoir ce que vaut $k$.

Information supplémentaire : On a constaté qu'au bout de 1 minute, la température de la casserole était passée à 90 °C.

Ce que vous devez faire

En vous basant sur le modèle proposé ainsi que l'information supplémentaire, vous devez déterminer au bout de combien de temps la casserole sera revenue à température ambiante.

Ce modèle théorique décrit très bien la réalité physique. Toutefois, avec ce modèle, $T$ ne sera jamais exactement égal à $T_{ambiant} = 20$ °C. On considère donc que la casserole est revenue à température ambiante quand $\left|T - T_{ambiant}\right| < 5$ °C

Vous devez avoir compris qu'il faut trouver la valeur de $k$ avant de pouvoir répondre. N'allez pas faire de longs calculs ou de longues recherches, faites tout cela par programmation.