Il y a 10 sortes de gens, celles qui comprennent le binaire et les autres.

Fiche de cours à imprimer – Fiche d'exercices à imprimer

Du point de vue des mathématiques, les nombres $14$, $\frac{28}{2}$, $\sqrt{196}$, $1110_b$ sont tous identiques et il pourra raisonner indépendamment de la façon dont on choisit de les écrire. Toutefois, l'écriture choisie a son importance car certaines écritures sont plus commodes que d'autres. L'informaticien a le même genre de problème : Il doit décider comment il écrira les nombres dans la machine et les choix qu'il fera auront une importance sur les calculs qu'il peut faire.

La technologie d'aujourd'hui repose sur des quantités tout ou rien, ce que l'on traduire par 1 ou 0. Il est alors naturel que les nombres utilisent l'écriture binaire qui n'a besoin que des symboles 1 et 0.

On connaît les 10 symboles 0, … 9 de la base 10. Quand on utilise une base plus petite, on a intérêt à utiliser les mêmes symboles. Par exemple, en binaire, on utilise 0 et 1.

Mais quand la base est plus grande, que faire ? En base 16, il nous faut 16 symboles.

On choisit de compléter par les lettres A, B, C, D, E, F.

On a donc la correspondance A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 et F = 15

Exercice 1 et 1 bis de la fiche d'exercices.

Le principe de notre notation des nombres repose sur :

1. l'utilisation de symbole élémentaires correspondant à une quantité connue,
2. un principe de paquet

Par exemple, en décimal on utilise 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et les paquets sont des paquets de 10.

Sur la figure ci-dessous, vous voyez à gauche les paquets possibles : une unité seule, un paquet de 10 (entouré en noir) et un paquet de 10 paquets de 10, c'est à dire un paquet de 100 (entouré en bleu).

Sur la droite, une quantité indéterminée d'items a été triée en paquets.

On constate que l'on a 2 paquets bleus, 1 noir et 3 unités. Dans ce cas on fait intuitivement le calcul et on déduit qu'il y a en tout 213 unités.

On reproduit l'expérience mais en envisageant maintenant des paquets de 4 : les paquets noirs contiennent 4 unités, les paquets bleus contiennent 4 paquets noirs et les paquets rouges contiennent 4 paquets bleus, comme on le voit sur la gauche.

Sur la droite le nouveau découpage montre que nous avons maintenant 3 rouges, 1 bleu, 1 noir et 1 unité.

Notez que la forme du paquet n'a pas d'importance. Le 3e paquet rouge n'est pas carré. L'important est qu'il contient 4x4x4 unités.

Exercice 2 de la fiche d'exercices.

Dans l'exemple précédent, on pourrait convenir d'utiliser toujours les mêmes couleurs de sorte que le premier nombre (base 10) serait 213 ou bien 132, la couleur permettant de savoir ce que signifie le 2, le 3 et le 1.

Mais c'est peu pratique. À la place on décide d'attribuer une signification à la position du chiffre dans le nombre :

• On écrit les paquets dans l'ordre, du plus grand au plus petit : 213
• La position donnant l'information nécessaire, on peut supprimer les couleurs : 213
• le chiffre à droite représente toujours les unités : 3 unités.
• Comme nous sommes en décimal, le poids d'une colonne est multiplié par 10 chaque fois qu'on avance d'une colonne à gauche.

Donc ici nous avons 3 unités (colonne de droite) plus 1×10 (2e colonne à partir de la droite) plus 2x10x10. Donc 213 = 2x10x10 + 1×10 + 3×1.

Cela à l'air un peu idiot comme cela. C'est que l'on est habitué à manipuler la base 10. Mettre ces mécanismes en évidence permet de mieux comprendre le fonctionnement des autres bases.

En base 4 nous avions le nombre 3111 que l'on notera sans couleur 3111. De droite à gauche :

• le 1 à droite est une simple unité : 1×1,
• le 1 suivant pèse 4 unités : 1×4,
• le 1 suivant pèse 4×4 unités : 1x4x4,
• le 3 final pèse 4x4x4 unités : 3x4x4x4

Le nombre est donc égal à 3x4x4x4 + 1x4x4 + 1×4 + 1×1 = 213.

Le même nombre est noté 213 en base 10 et 3111 en base 4. Je ne peux pourtant pas écrire 213 = 3111. On convient alors d'indiquer la base en indice : $3111_4$.

La base 2 et la base 16 ont une importance particulière et bénéficie d'une notation spéciale.

Ces notations supplémentaires sont utilisables en Python :

>>> 0b11101
45
>>> 0x3e
52

Exemple de conversion : 0b101001 = 41.

Exercice 3 de la fiche d'exercices.

Exemple de conversion 0x2B3 = 691

Exercice 4 de la fiche d'exercices.