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Entiers négatifs
Problèmatique
Dans ce chapitre, on se pose la question de savoir comment on écrira un nombre entier négatif dans un ordinateur. Les choix que l'on fera sont au lié au fait que dans l'ordinateur, un nombre ne sera écrit que avec des 0 et des 1 et avec une taille fixe.
Notation : Quand j'écrirai [1110 1001], je parlerai d'un octet tel qu'écrit dans la machine, sans me soucier de la signification de cet octet.
L'octet [1110 1001], par exemple, n'a a priori aucune signification. Il pourrait représenter le nombre 233, le nombre -23 ou encore le caractère é. Quand on lit un octet (ou un groupe d'octets) on doit toujours savoir de type de donnée il s'agit afin d'interpréter les bits correctement.
Voici notre problème : nous ne disposons que de 0 et de 1. Comment allons-nous indiquer que l'on veut un signe négatif ?
Première idée : Le bit de signe
Bien que cette idée soit valable, ce n'est pas ainsi que l'on fait !
On peut décider d'utiliser le premier bit du nombre comme bit de signe. On dirait alors :
- Si le premier bit vaut 1, il faut le remplacer par –
- Si le premier bit vaut 0, il faut le remplacer par +
- Le reste du nombre est du binaire naturel
Cette solution est simple mais elle n'est pas utilisée car elle est a un défaut que l'on donnera plus loin.
Exemples
Si on utilisait cette méthode – J'insiste, on va faire autrement !
[0010 1111]représente le nombre+010 1111en binaire donc 47.[1010 1111]représente le nombre-010 1111en binaire donc –47.
Pourquoi on n'utilise pas cette méthode
Supposons que je dispose de 8 bits pour stocker des nombres. Dans un contexte ou je n'ai pas besoin de nombres négatifs, je ne veux pas m'embarrasser d'un bit de signe qui me fait gaspiller 1 bit. Mais si je pense avoir besoin de nombres négatifs, le bit de signe m'intéresse.
On veut pouvoir choisir notre mode de fonctionnement :
- soit un mode d'entiers uniquement positifs. Alors les 8 bits codent un nombre de 8 chiffres en binaire naturel,
- soit un mode d'entiers signés, pouvant donc être positifs ou négatifs et alors il nous faut une manière de représenter le –, par exemple un bit de signe.
Exercice
Supposons alors que je veuille faire le calcul S = A + B dans différents cas.
En mode positif, A = 131 et B = 7
On ne souhaite pas utiliser de nombres négatifs. On code donc les entiers en mode positif.
- Quel sera le codage de A ?
- Quel sera le codage de B ?
- Quel sera le codage de S = A + B = 138 ?
En mode négatif, bit de signe, A = -3 et B = 7
Cette fois on veut utiliser des nombres signés et donc pouvoir indiquer s'ils sont positifs ou négatifs. On décide d'utiliser le bit de signe comme présenté plus haut.
- Quel sera le codage de A ?
- Quel sera le codage de B ?
- Quel sera le codage de S = A + B = 4 ?
Problème ?
Quel est le problème ?
Solution
En mode positif, A = 131 et B = 7
Alors on codera A par [1000 0011] et B par [0000 0111]. Le résultat sera S = 138 ce qui sera codé par [1000 1010].
En mode négatif, bit de signe, A = -3 et B = 7
Alors, si on adopte le bit de signe, A sera codé [1000 0011] et B sera codé [0000 0111]. Le résultat, S = 4, sera codé [0000 0100].
Problème ?
Dans les deux cas
- les codages de A et B sont les mêmes,
- l'opération est la même (addition)
Mais le codage du résultat est différent. Cela signifie que la table de vérité du circuit faisant l'addition n'est pas la même dans les deux cas. Cela signifie qu'il faut deux circuits électronique additionneur, un circuit pour chaque cas de codage.
Le complément à 2 - CA2
Idée du tour de compteur
Ma voiture a 453 725 km au compteur. Le compteur affiche 6 chiffres. Je ne compte pas le chiffre des dixièmes.
Je veux ramener le compteur à 000 000 km mais sans trafiquer le compteur, seulement en roulant. Est-ce possible ? Comment ?
Solution : En roulant encore 546 274 km, le compteur affichera 999 999 km. Encore 1 km et le compteur fait un tour, il revient à 000 000 km.
Donc, comme le compteur n'a que 6 chiffres et que l'on ne peut pas savoir qu'il a fait un tour, tout se passe comme si on avait fait le calcul :
[453 725] + [546 275] = [000 000]
C'est à dire : [546 275] = - [453 725]
C'est cette idée que le CA2 va exploiter.
Méthode
- Le mot binaire commence par
0, c'est un nombre positif, en binaire naturel.
Exemple :[0011 0101]correspond à $0011\:0101_b = 53$ - Le mot binaire commence par
1, c'est un nombre négatif. Il n'est pas en binaire naturel !. - Pour changer le signe, on doit faire inverse et +1.
Exemple de nombre négatif : [1011 0101] correspond à un nombre négatif. On ne peut pas le lire directement. Il faut :
- inverser :
[0100 1010] - faire +1 :
[0100 1011]. Ce nouveau nombre est en CA2 et il correspond à $0100\:1011_b = 73$. - Le nombre
[1011 0101]correspond donc à $-73$.
En Python
Le python utilise des entiers codé en CA2 sur 4 octets.
On peut inverser avec ~ de sorte que si on écrit ~45 + 1 on obtient -45.
On reconnaît bien le CA2.
Pourquoi c'est mieux que le bit de signe ?
Le CA2 est construit autour de l'idée du tour de compteur. Il utilise donc l'addition normalement. On va voir que le problème soulevé plus haut ne se pose plus.
Exercice
Reprenons donc le calcul S = A + B
En mode positif, A = 131 et B = 7
Même chose que précédemment.
- A est codé par
[1000 0011], - B est codé par
[0000 0111], - le résultat S = 138 est codé par
[1000 1010].
En mode négatif, CA2, A = -125 et B = 7
On utilise des nombres signés. Il nous faut donc une méthode pour représenter le signe. On décide d'utiliser le CA2.
- Quel sera le codage de A ?
- Quel sera le codage de B ?
- Quel sera le codage de S = A + B = –118 ?
Mieux ?
En quoi est-ce mieux que le cas précédent ?
Solution
En mode négatif, CA2, A = -125 et B = 7
- A sera codé
[1000 0011], - B sera codé
[0000 0111], - le résultat, S = -118, sera codé
[1000 1010].
Mieux ?
Dans les deux cas,
- les octets intervenant dans le calcul sont identiques,
- l'opérateur est le même,
- l'octet résultat est le même.
Peu importe ce que représentent ces octets, que ce soit un nombre positif ou un nombre en CA2, l'important est que dans les deux cas, la table de vérité du circuit est la même et donc un seul circuit suffira pour additionner les nombres, peu importe qu'ils soient signés ou non.
Exercices
Exercice 1
Considérons un octet. Il représente un nombre entier en binaire naturel.
- Quel est le plus petit nombre possible ? Quel est l'octet correspondant ?
- Quel est le plus grand nombre possible ? Quel est l'octet correspondant ?
Exercice 2
Donnez l'entier correspondant à ces octets en CA2 :
[0000 0000][0001 1011][1010 1100][1111 1111][0111 1111][1000 0000]
Quels sont les nombres maximum et minimum pouvant être codés sur un octet en CA2 ?
Exercice 3
Coder en CA2 les entiers suivants :
- 52
- –31
- 117
- –91
- 189
Le dernier cas pose un problème, lequel ?