Exercices de probabilités

Un magasin informatique propose à ses clients qui achètent un ordinateur de souscrire une extension de garantie.

Celle-ci couvre les réparations en cas de panne matérielle durant trois ans.

Une enquête est effectuée auprès de 2 000 clients ayant acheté un ordinateur il y a trois ans.

Elle montre que 30% d’entre eux avaient souscrit l’extension de garantie. De plus, 150 ordinateurs, dont 20% bénéficiaient de l’extension de garantie, ont subi une panne.

Enfin, 40 ordinateurs, dont 70% sans extension de garantie, ont subi plus de deux pannes.

Les probabilités seront données sous forme décimale arrondie à $10^{-2}$.

1. Décrire cette situation par un tableau.
2. On choisit un client au hasard parmi les 2 000 considérés. On note :
   • $E$ : « Le client avait pris une extension de garantie. »
   • $A$ : « L’ordinateur du client n’a subi aucune panne. »
   • $B$ : « L’ordinateur du client a subi une panne. »
   • $C$ : « L’ordinateur du client a subi plus de deux pannes. »
   1. Calculer les probabilités de $E$, $A$, $B$ et $C$
   2. Calculer la probabilité de l’événement $C \cup E$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
3. 1. Quelle est la probabilité qu’un ordinateur bénéficiant d’une extension de garantie n’ait subi aucune panne ?
   2. Quelle est la probabilité qu’un ordinateur n’ayant subi aucune panne bénéficie d’une extension de garantie ?

Dans un jeu télévisé contrôlé par huissier (garantit l'absence de triche) le candidat doit une porte parmi trois : A, B, C.

Derrière l'un de ces portes se trouve un très beau cadeau, par exemple un voyage luxueux. Derrière les deux autres portes il y a un cadeau ridicule. Disons par exemple une boîte de mouchoirs.

On peut supposer que le beau cadeau a été placé aléatoirement de façon équiprobable derrière l'une des portes.

À chaque fois, l'animateur indique, parmi les deux portes non choisies par le candidat, une porte derrière laquelle se trouve une boîte de mouchoirs. Puis il propose au candidat de changer de porte s'il le veut.

Pour fixer les choses, supposons que le candidat choisisse A. Alors l'animateur du jeu dit : Attention ! Je vous informe que derrière la porte B, il y a une boîte de mouchoirs. Voulez-vous changez votre choix ?

Le candidat a-t-il intérêt à changer et à choisir la porte C ?

On reprend le jeu précédent en changeant une donnée : à présent on a constaté que la production (qui organise le jeu) a une préférence pour la porte B : dans 60 % des cas, le super cadeau est derrière B. Sinon A cache le super cadeau dans 25 % des cas et C dans 15 % des cas.

Quelle est la meilleure stratégie pour le candidat (celle qui lui donne le plus de chance de gain) ?

Dans l'urne il y a 5 boules rouges, 2 bleues et une verte. On tire deux boules sans remise. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules de même couleur ?

Le 421 est un jeu de dés de comptoir.

On lance 3 dés sur une piste et on réalise des figures. On est libre de mettre les dés dans l'ordre voulu.

La combinaison qui rapporte le plus est le 421 (c'est à dire 4, 2, 1).

Quelle est la probabilité de réussir un 421 ?

La combinaison juste inférieure est le triple 1. Quelle est la probabilité de cette combinaison ?

Une roulette de casino a des cases numérotées de 0 à 36.

On peut faire toute sorte de paris. Chaque fois, si on gagne, on récupère sa mise et on touche un gain proportionnel à la mise.

Par exemple, on peut parier sur pair ou impair (à la roulette, le 0 n'est ni pair ni impair !) Le gain est égal à la mise.

On parie sur un nombre quelconque. Le gain est de 35 fois la mise.

Pourquoi peut-on dire qu'en moyenne, le casino est gagnant ?