Suite de Syracuse

Présentation

Dans la suite de Syracuse, on choisi un nombre entier $A$ puis on répète :

si $A$ est pair, $A$ prend la valeur $\dfrac{A}{2}$,
si $A$ impair, $A$ prend la valeur $3A + 1$.

Exemple : on choisit comme nombre de départ $A = 7$.

on commence donc avec $A = 7$
comme $7$ est impair, la valeur suivante est $3A + 1= 22 \to A$
comme ce nouveau $A$ es pair, la valeur suivante est $\dfrac{A}{2} = 11 \to A$
impair donc $3A + 1 = 34 \to A$

Et ainsi de suite. Les nombres suivants dans la suite sont : 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4

On constate que la suite finit par se répéter. On décide que la suite s'arrête juste avant la première répétition. On peut faire plus simple en décidant que la suite d'arrête quand elle arrive à 1.

Dans ce cas, pour la valeur de départ 7, la suite est 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

Une conjecture fait l'hypothèse que pour n'importe quel entier strictement positif de départ, la suite est toujours de longueur finie. On a fait l'expérience avec tous les nombres jusque des nombres très grands et aucun contre exemple n'a été trouvé. Pourtant, la conjecture n'a toujours pas été démontrée !

Quoi faire

Voici quelques fonction que vous pourriez programmer :

Pour un entier donné, renvoyer l'élément suivant dans la suite,
Pour un entier donné, renvoie la longueur de la suite,
Pour un entier A donné, renvoyé l'entier B tel que $1 \leq B \leq A$ dont la suite de Syracuse est la plus longue.