Monte-Carlo est un quartier de Monaco connu pour ses casinos. On utilise cette appellation pour des techniques utilisant le hasard. Nous allons utiliser cette méthode pour estimer la valeur du nombre pi.

• Dans un repère orthonormé, nous considérons le carré ci-dessus.
• Nous choisissons des points au hasard dans ce carré.
• Nous comptons ceux qui sont à l'intérieur du quart de disque de rayon 1.
• Nous calculons enfin la fréquence des points dans le quart de cercle.

Le résultat final doit être environ $\frac{\pi}{4}$. Il suffit donc de multiplier le résultat final par 4.

Pour rendre la méthode plus facile à comprendre, nous choisissons d'afficher les points sur un graphique. Ceci va ralentir l'exécution et n'est pas utile pour le calcul. Vous pourrez l'enlever pour améliorer les performances.

from random import random # importe la fonction random de la bibliothèque random
import matplotlib.pyplot as plt # graphique
from math import sqrt # fonction racine carrée, utile pour la 2e partie

N = 1000 # Nombre total de points

for i in range(N):
    x = random() # x au hasard dans [0;1[
    y = random() # x au hasard dans [0;1[
    plt.plot([x],[y],'ro') # ajout dans le graphique d'un point (o) en rouge (r)
    # on aurait écrit 'go' pour un point vert (green)
plt.show()

La méthode étant aléatoire, on obtient un résultat toujours différent et on ne sait pas à quel point il est juste. On peut utiliser la notion d'intervalle de confiance – programme de maths, terminale, probabilités.

Quand on a obtenu la fréquence $f$ à l'issue du comptage, considérant $N$ le nombre de point total, on dira que l'on a 95 % de chances que la bonne valeur soit dans $\left[f - 1,96\sqrt{\frac{f\cdot(1-f)}{N-1}} ; f + 1,96\sqrt{\frac{f\cdot(1-f)}{N-1}}\right]$.

On en déduit que, puisque notre estimation est $\pi \simeq 4\cdot f$, que la bonne valeur de $\pi$ a 95 % de chances d'être dans $\left[4\,f - 7,84\sqrt{\frac{f\cdot(1-f)}{N-1}} ; 4\,f + 7,84\sqrt{\frac{f\cdot(1-f)}{N-1}}\right]$.