====== Approximer pi avec une suite de Ramanujan ======

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Srinisiva Ramanujan (22 décembre 1887 -- 26 avril 1920) est un mathématicien autodidacte indien, auteur génial de nombreuses formules très originales.

Godfroy Hardy -- mathématicien britannique qui a fait connaître les travaux de Ramanujan -- rapporte cette anecdote :
> « Je me souviens que j'allais le voir une fois alors qu'il était malade, à Putney. J'avais pris un taxi portant le numéro 1729 et je remarquais que ce nombre me semblait peu intéressant, ajoutant que j'espérais que ce ne fût pas mauvais signe.\\ — Non, me répondit-il, c'est un nombre très intéressant : c'est le plus petit nombre décomposable en somme de deux cubes de deux manières différentes. »\\ En effet, $1729 = 9^3 + 10^3 = 1^3 + 12^3$.

Il a produit des formules permettant de calculer $\pi$. En voici une :

$$\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(4k)! (1\,103 + 26\,390k)}{(k!)^4 \cdot 396^{4k}}$$

Il faut bien dire que cette formule fait un peu peur et parait magique.

===== Première approche naïve =====

On ne prend pas spécialement de précautions, on fait les calculs normalement en Python. Puisque les résultats sont des nombres à virgule, on utilisera des ''float''.

<code python linenums>
from math import sqrt # racine carrée pour le calcul de racine(2)
</code>

<WRAP box>**À faire :**
  - Écrire une fonction ''facto(k)'' qui renvoie $k! = 1\times 2 \times 3 \cdots \times k$.
  - Écrire une fonction ''terme(k)'' qui renvoie le terme $\frac{(4k)! (1\,103 + 26\,390k)}{(k!)^4 \cdot 396^{4k}}$.
  - Écrire une fonction ''somme(N)'' qui fait la somme présente dans la formule de Ramanujan avec une borne supérieur égale à ''N''.
  - En déduire l'approximation de $\pi$ obtenue ''N'' allant de 0 à 3.
</WRAP>

===== Méthode moins naïve =====

La formule de Ramanujan es utile parce qu'elle converge vite. On ne peut bien sûr pas faire la somme à l'infini et donc on ne peut pas obtenir une valeur exacte de $\pi$, mais on atteint des approximations excellentes même en ne sommant que jusqu'à un ''N'' faible.
  * Avec ''N == 0'' on a déjà 6 bons chiffres après la virgule,
  * avec ''N == 1'' on en a 14 !

Une telle formule n'a d'intérêt que pour calculer $\pi$ avec une très grande précision. Alors nous allons devoir utiliser autre chose que les simples ''float''. En effet, on sait que les ''float'' ont une précision limitée. On va devoir utiliser un autre mode de représentation des nombres.

==== module decimal ====

Pour cela nous allons utiliser le module ''decimal'' qui permet de stocker des nombres décimaux avec une précision arbitraire et sans le problème habituel de l'encodage binaire -- rappelez vous, que se passe-t-il en Python quand on écrit ''0.1 + 0.2'' ?

<code python linenums>
from decimal import Decimal, getcontext

C = getcontext() # permettra de régler des paramètres
C.prec = 1024    # par exemple, une précision à 1024 chiffres

# un exemple d'utilisation
x = Decimal(3)   # x est égal au nombre 3 mais stocké au format Decimal
x.sqrt()         # renvoie la racine carrée de x, donc 3, avec une précision à 1024 chiffres !
3*x              # renvoie le Decimal égal à 3*x, donc 9 ici
0.1*x            # à ne surtout pas faire : si on utilise Decimal, c'est justement pour éviter
                 # le problème des float qui ne codent qu'imparfaitement les nombres décimaux

dixieme = D(0.1) # surtout pas ! comme vous devez le savoir, quand on écrit 0.1,
                 # la machine produit un nombre codé en binaire qui ne fait qu'approximer 0.1
                 # et ce nombre est 0.100000000000000005551...
dixieme = D('0.1') # oui ! on laisse à Decimal le soin de comprendre correctement '0.1'
</code>

==== Ce qu'il faut changer ====

  * Ajouter les lignes 1 à 4 (import et réglage de contexte) de ce qui précède,
  * supprimer l'import de ''sqrt'' de la bibliothèque ''math'' qui ne servira plus,
  * vous pouvez laisser votre méthode ''facto'' inchangée,
  * dans la fonction ''terme'', convertissez ''1103'' en ''Decimal(1103)'' et de même pour ''26390'' et ''396''
  * Dans le calcul final, au lieu de ''sqrt(2)'' remplacez par ''Decimal(2).sqrt()''.

Vous pouvez recommencer et apprécier le résultat.

<WRAP info>Pour information, voici les premières décimales de $\pi$

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494\\ 4592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647\\ 0938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596\\ 4462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527\\ 1201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724\\ 5870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113\\ 3053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218\\ 6117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227\\ 9381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021\\ 7986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812\\ 7145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430\\ 1465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181\\ 5981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281\\ 6096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171\\ 0100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287\\ 5546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300\\ 1927876611195909216420198
</WRAP>

<WRAP tip>Nous avons utilisé une bibliothèque toute faite, ''decimal'', qui a de très bonne performances. Évidemment, ceux qui courent après les records de calcul de décimales de $\pi$ sont obligés de produire des méthodes originales et de développer leurs propres bibliothèques afin d'optimiser les calculs.</WRAP>