====== Calcul formel avec Xcas ======

===== Qu'est ce que Xcas =====

**giac** est une bibliothèque C++ de **calcul formel**. On peut l'utiliser de différentes façons.

**Xcas** est une interface pour utiliser giac. Nous allons par exemple utiliser la version [[https://www.xcasenligne.fr/giac_online/demoGiacPhp.php|Firefox de Xcas]] qui permet de travailler avec giac sans rien installer, juste avec le navigateur.

> Testé sur Firefox, Chrome, Chromium

On peut aussi installer Xcas comme application sur le téléphone. Par ailleurs, des calculatrices utilisent giac comme la TI-inspire ou la Numworks.

<WRAP tip>Je n'ai pas encore explicité ce qu'on entend par **calcul formel**. Cela va devenir évident dans la suite.</WRAP>

===== Lancer la console =====

Rendez-vous sur [[https://www.xcasenligne.fr/giac_online/demoGiacPhp.php|Xcas en ligne]].

<WRAP tip>Vous recevrez un popup demandant « //Restaurer la sauvegarde d'urgence ?// ». Cela permet de récupérer un travail antérieur. Pour l'instant nous n'avons rien fait donc cliquez « Annuler »</WRAP>

{{ :mm:xcas:accueil_xcas_en_ligne.png?direct&400 |}}

Cliquez sur le terminal entouré en rouge.

Vous êtes dans la console :

{{ :mm:xcas:console_xcas_en_ligne_1.png?direct&400 |}}

La flèche indique la zone de saisie. C'est là que vous allez pouvoir ajouter des commandes.

===== Exemple de calcul =====

Nous étudions une fonction $f$ paire, de période $T = 4$ et définie sur $[0\,;\,2]$ par $f(t) = \begin{cases}t\text{ si } 0 \leq t < 1\\1 \text{ si } 1 \leq t \leq 2\end{cases}$

On sait que $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$

On voudrait calculer $a(n) = \displaystyle \int_0^2 f(t) \cos(n\omega t)\,dt,$ avec $n$ entier $>0$

<WRAP tip>
  * Dans ce qui suit, les commandes sont toujours écrites dans la console. Tapez //Entrée// pour exécuter la commande.
  * Vous aurez parfois besoin de réécrire presque la même chose qu'une commande précédente. Vous pouvez utiliser la flèche ↑ pour rappeler cette commande.
  * Si vous vous trompez, ce n'est pas grave. Pas besoin d'effacer l'erreur ou de recommencer dès le début. Réécrivez la commande corrigée dans une nouvelle ligne et continuez.
  * S'il y a plusieurs commandes, entrez les l'une après l'autre en validant à chaque fois.
</WRAP>

==== Calculs directs ====

Essayez :
<code lang-none>
2pi/4
</code>

> Dans ce cas, $\pi$ est reconnu et le symbole de multiplication est optionnel. Mais le résultat ne se simplifie pas.

<code lang-none>
simplifier(2pi/4)
</code>

> Le résultat est simplifié. Remarquez que les commandes sont traduites en français.

==== Affectation ====

Essayez :
<code lang-none>
T := 4
omega := 2pi/T
</code>

> L'affectation utilise '':='', faites-y attention ; ''omega'' sera automatiquement compris comme le symbole $\omega$ ; l'expression pourra s'afficher différemment selon si fait une affectation ou non.

==== Calcul d'intégrale ====

Commençons par le calcul de $\displaystyle \int_0^1 t\cdot \cos(n\omega t)dt$

<code lang-none>
integrer(t*cos(n*omega* t), t, 0, 1)
</code>

Détaillons les arguments de la fonction ''integrer'' :
  * ''%%t*cos(n*omega* t)%%'' : c'est l'expression de ce qui est intégré, sans le $dt$.
  * ''t'' : c'est la variable d'intégration. En gros, c'est le $dt$.
  * ''0'' et ''1'' : ce sont les bornes d'intégration.

<WRAP tip>Maintenant vous devriez comprendre ce qu'est le calcul formel : on fait le calcul de façon exacte même s'il y a des symboles.</WRAP>

Le résultat précédent semble compliqué. On voudrait simplifier :

<code lang-none>
simplifier(integrer(t*cos(n*omega* t), t, 0, 1))
</code>

Mais le résultat n'est pas très satisfaisant. La simplification est automatique et elle ne prend pas toujours la forme que l'on préférerait.

==== Intégrale complète ====

Je vous rappelle que l'on voulait calculer $\displaystyle \int_0^2 f(t) \cos(n\omega t)\,dt$ avec $f(t) = \begin{cases}t\text{ si } 0 \leq t < 1\\1 \text{ si } 1 \leq t \leq 2\end{cases}$

Il faut donc calculer :
$$\displaystyle \int_0^1 t\cdot \cos(n\omega t)dt + \int_1^2 1\cdot \cos(n\omega t)dt$$

**Trouvez vous-même la bonne commande en vous inspirant de la précédente.**

> Pensez à simplifier, cette fois cela donne un bon résultat.

==== Définir la fonction ====

Il est possible de faire mieux en définissant la fonction $f$.

<code lang-none>
f(t):=piecewise(t<1,t,1)
</code>

Détaillons :
  * si ''t<1'', alors ce sera ''t'',
  * sinon ce sera ''1''

Maintenant on peut calculer :

<code lang-none>
simplifier(integrer(f(t)*cos(n*omega*t),t,0,2))
</code>

Le résultat est satisfaisant.

==== Simplification incomplète ====

giac simplifie une partie du calcul mais il ne voit pas certaines simplifications : on sait que $\sin(n\pi) = 0$. On pourrait donc simplifier ce terme.

Pourquoi giac ne le voit-il pas ?

giac ne sait pas que $n$ est un entier. $\sin(n\pi) = 0$ uniquement si $n$ est entier.

Il est possible d'indiquer que $n$ est un entier :

<code>
assume(n, integer)
</code>
==== Évaluer ====

On voulait calculer $a(n) = \displaystyle \int_0^2 f(t) \cos(n\omega t)\,dt$ et on aimerait calculer quelques valeurs et faire un tableau de valeur.

<code lang-none>
a(n) := integrer(f(t)*cos(n*omega*t),t,0,2)
</code>

On peut maintenant calculer, par exemple :
<code lang-none>
a(3)
</code>

Il s'agit d'une valeur **exacte !**

On peut évaluer :
<code lang-none>
evalf(a(3))
</code>

> f signifie **flottant**. C'est le terme informatique utilisé pour les nombres à virgules.

On peut préciser le nombre de chiffres significatifs désirés :
<code lang-none>
evalf(a(3), 4)
</code>

On peut aussi simplement arrondir, par exemple à 5 chiffres après la virgule :
<code lang-none>
round(a(3), 5)
</code>

==== Afficher une liste ====

On peut donc afficher la valeur de n'importe quel $a(n)$. On peut faire mieux : obtenir directement un tableau de valeurs :
<code lang-none>
seq(a(n), n, 1, 10)
</code>

> Calcul de ''a(n)'' pour ''n'' allant de ''1'' à ''10''

L'affichage n'est pas terrible. On voudrait un tableau avec la valeur de $n$ en face de $a(n)$ et de l'approximation de $a(n)$ à 5 chiffres.

<code lang-none>
seq([n, a(n), round(a(n), 5)], n, 1, 10)
</code>

Et voilà !