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====== Méthode d'Euler pour le second ordre ======

Nous voulons obtenir la solution d'une équation différentielle du second ordre par la méthode d'Euler.

<WRAP important>La méthode d'Euler fonctionne très bien au premier ordre  mais nous allons voir qu'il peut être plus délicat de l'utiliser au 2nd ordre. Elle peut néanmoins donner de bons résultats.</WRAP>

Nous allons utiliser **Python**.

===== Équation différentielle =====

On se place dans le cas d'une équation différentielle du second ordre.

$$a\cdot y'' + b \cdot y' + c\cdot y = f(t)$$

Nous allons reformuler cette équation sous la forme :
$$y'' = \frac{1}{a}\left(f(t) - b \cdot y' - c\cdot y\right)$$

===== Principe de la méthode =====

À un moment $t$, on connaît $y(t)$ et $y'(t)$ (au début on connaît $y(0)$ et $y'(0)$) :
  * on peut donc, avec la formule donnée juste avant, calculer $y''(t)$
  * on dira que $y'(t + dt) = y'(t) + y''(t)\cdot dt$
  * on fait comme si $y'(t)$ changeait de façon affine de $y'(t)$ à $y'(t+dt)$. Cela revient à écrire (je vous épargne les détails) : $y(t + dt) = y(t) + \frac{y'(t) + y'(t+dt)}{2}\cdot dt$

On voit que pour $y(t)$, $y'(t)$ et $dt$ donnés, ainsi que $a$, $b$, $c$ et $f$, on peut calculer $y(t+dt)$ et $y'(t+dt)$.

Recopiez et complétez :

<code python>
def avance_de_dt(yt, ypt, dt, t, f, a, b, c):
    """
    yt: valeur de y(t)
    ypt: valeur de y'(t)
    dt: temps dt
    t: temps en cours
    f: fonction du second membre
    a,b,c: coefficients de l'équation
    Renvoie le triplet t+dt, y(t+dt), y'(t+dt)
    """
    # à vous
</code>

===== Calcul de l'historique des valeurs de y =====

On souhaite tracer la courbe de la solution $y$. Pour cela il nous faut calculer les valeurs de $y(t)$ pour tous les $t$ sur un certain intervalle $[0;T]$.

Bien sûr, on ne peut pas calculer pour **toutes** les valeurs de $t$ car elles sont en nombre infini. On va donc calculer pour $N$ valeurs, avec $N$ assez grand (1000, 10 000...)

**Exemple :**
  * Si on choisit $T = 10$ (disons que le temps est en secondes)
  * Choisissons $N = 100$, on découpe donc $T$ en 100 intervalles de 100 ms = 0.1s. On aura donc $dt = 0.1$
  * On va constituer une liste de valeurs ''y''.\\ Quand on écrira ''%%y[0]%%'', cela désignera la première valeur de la liste, donc $y(0)$.\\ Quand on écrira ''%%y[1]%%'', il s'agira de la valeur de $y$ au bout de 1 temps $dt$.\\ Quand on écrira ''%%y[50]%%'', il s'agira de la valeur de $y$ pour $t = 50 dt$.

def historique(y0, yp0, f, a, b, c, N, T):
    """
    y0: valeur de y(0)
    yp0: valeur de y'(0)
    f, a, b, c: éléments de l'équation différentielle
    N: nombre d'intervalles considérés
    T: on veut connaître y(t) pour t dans [0;T]
    renvoie la paire de listes t, y
    """
    # initialisation des listes, d'abord pleines de 0 :
    y = [0]*(N+1)
    yp = [0]*(N+1)
    tps = [0]*(N+1)
    # valeurs initiales :
    y[0] = y0
    yp[0] = yp0
    
    dt = # complétez
    for i in range(N): # répète N fois
        tps[i+1], y[i+1], yp[i+1] = avance_de_dt(... # complétez)
    return tps, y
</code>
        
=====Exemple=====

On veut utiliser nos fonction avec un exemple :

$$0.1 y''+ 0.12 y' + y = 1 ; y(0)=0$$
        
Je vous propose le code. Pour comparaison, j'ai fait le calcul de la solution exacte.        

<code python>
from math import exp, sin, cos, sqrt
a = # compléter
b = # compléter
c = # compléter
f = lambda t:30 # fonction t->30, une constante donc
T = 8
N = 100

t, y = historique(#compléter)


w = sqrt(9.64)
y_exact = [1-exp(-0.6*x)*(cos(w*x)+0.6/w*sin(w*x)) for x in t]

# graphique
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(t, y, label="euler")
plt.plot(t, y_exact, label="exact")
plt.show()
</code>

===== Autres exemples =====

Vous pouvez essayer avec une autre fonction. Dans ce cas bien sûr, la solution exacte que j'ai proposée ne conviendra plus.

On peut par exemple essayer $f(t) = \cos(3t)$.

On peut modifier :

<code python>
...
f = lambda t:cos(3*t)
...
y_entree = [f(x) for x in t]
# graphique
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(t, y, label="euler")
plt.plot(t, y_entree, label="entrée")
plt.show()
</code>