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nsi:tds:maths:fractales:julia_set

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nsi:tds:maths:fractales:julia_set [2023/04/03 09:35] – ↷ Page déplacée de nsi:tds:julia_set à nsi:tds:maths:fractales:julia_set goupillwikinsi:tds:maths:fractales:julia_set [2023/04/03 10:06] (Version actuelle) – goupillwiki
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 ====== Ensembles de Julia ====== ====== Ensembles de Julia ======
  
-{{ :nsi:tds:maths:fractales:julia_set.png?nolink&200|Ensemble de Julia}}+{{ :nsi:tds:maths:fractales:julia_set.jpg?nolink&200|Ensemble de Julia}}
  
 {{ :nsi:tds:maths:fractales:julia.jpg?nolink&140|Gaston Julia}} {{ :nsi:tds:maths:fractales:julia.jpg?nolink&140|Gaston Julia}}
  
-Gaston Julia (1893 - 1978) est un mathématicien français, spécialiste des fonctions d'une variable complexe. Ses résultats de 1917-1918 sur l'itération des fractions rationnelles ont été remis en lumière dans les années 1970 par [[nsi:tds:maths:fractales:mandelbrot_set|Benoît Mandelbrot]]. Les ensembles de Julia et de Mandelbrot sont étroitement associés.+Gaston Julia (1893 - 1978) est un mathématicien français, spécialiste des fonctions d'une variable complexe. Ses résultats de 1917-1918 sur l'itération des fractions rationnelles ont été remis en lumière dans les années 1970 par [[nsi:tds:maths:fractales:mandelbrot_set|Benoît Mandelbrot]]. Les ensembles de Julia et de Mandelbrot sont étroitement associés et font partie des ensembles fractales.
  
- +Vous avez peut-être remarqué l'étrange masque que porte Gaston Julia sur l'illustration. Il est une "Gueule cassée" de la Première Guerre Mondiale. Grièvement blessé au visage en 1915, à 22 ans, il devra porter ce masque toute sa vie.
-Benoît Mandelbrot (1924 - 2010) est un mathématicien franco-polonais inventeur des fractales. L'ensemble qu'il a découvert, à la suite de son professeur Gaston Julia, est devenu un [[https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A8me|mème]]. +
- +
-Les fractales sont un champ d'étude aux multiples applications. On peut citer la théorie du Chaos et la génération procédurale : Par exemple, dans les jeux vidéos, les fractales permettent de générer automatiquement des environnement riches, denses, comme des forêts de feuillus.+
  
 ===== Définition de l'ensemble ===== ===== Définition de l'ensemble =====
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 Les valeurs de $z_n$ n'ont pas d'importance par elles-mêmes. On veut juste savoir si la suite $z_n$ diverge ou non. Autrement dit, on veut savoir si $(x_n ; y_n)$ finit par s'éloigner infiniment de l'origine. Les valeurs de $z_n$ n'ont pas d'importance par elles-mêmes. On veut juste savoir si la suite $z_n$ diverge ou non. Autrement dit, on veut savoir si $(x_n ; y_n)$ finit par s'éloigner infiniment de l'origine.
  
-Prenons un exemple : si $c = (1 ; 1)$ alors la suite $z_n$ prend les valeurs :+Cela dépend du choix de $z_0$ et de $c$.
  
-$z_0 = (0 ; 0)$ ; $z_1 = (1 ; 1)$ ; $z_2 = (1 ; 3)$ ; $z_3 = (-7 ; 7)$ ; $z_4 = (1 ; 99)$ ; ...+<WRAP tip>Mandelbrot et Julia sont en quelque sorte complémentaires : Pour [[nsi:tds:maths:fractales:mandelbrot_set|l'ensemble de Mandelbrot]], on fixe $z_0 = 0$ et on cherche les $c$ pour lesquels la suite ne diverge pas. Pour Julia c'est l'inverse : on fixe $c$ a une valeur et on cherche les $z_0$ pour lesquels la suite ne diverge pas. 
 +</WRAP>
  
-On voit que le point $z_n$ s'éloigne de l'origine. On dira que cela diverge.+Prenons un exemple : si $c = (1 ; 1)$ et $z_0 = (0,-2)$. Alors la suite $z_n$ prend les valeurs :
  
-Autre exemple, si $c = (-1 ; 0)$. Alors :+$z_0 = (0 ; -2)$ ; $z_1 = (-3 ; 1)$ ; $z_2 = (9 ; -5)$ ; $z_3 = (57 ; -89)$ ; ...
  
-$z_0 = (0 ; 0)$ ; $z_1 = (-1 ; 0)$ ; $z_2 = (0 ; 0)$ ; $z_3 = (-1 ; 0)$ ; $z_4 = (0 ; 0)$ ; ... +On voit que le point $z_n$ s'éloigne de l'origine. On dira que cela diverge.
- +
-On voit que dans ce cas, $z_n$ oscille entre deux valeurs et donc ne s'éloigne pas indéfiniment de l'origine. Dans ce cas, cela ne diverge pas.+
  
 <WRAP tip> <WRAP tip>
-L'ensemble de Mandelbrot est l'ensemble des valeurs de $c$ pour lesquelles la suite $z_n$ ne diverge pas.+L'ensemble de Julia est l'ensemble des $z_0$ pour lesquels la suite $z_n$ ne diverge pas.
  
-Ces points sont ceux en noir sur la figure en haut.+Cet ensemble dépend du choix de $c$. Il y a donc plusieurs ensembles de Julia.
 </WRAP> </WRAP>
  
-Donc $c = (1 ; 1)$ n'est pas dans l'ensemble de Mandelbrot. $c = (-1 ; 0)$ lui est dans l'ensemble.+Donc $z_0 = (0 ; -2)$ n'est pas dans l'ensemble de Julia pour $c = (1 ; 1)$.
  
 ==== Calcul pratique ==== ==== Calcul pratique ====
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 Il est très difficile, pour un $c$ quelconque, de prévoir si la suite divergera ou non. Pour dessiner l'ensemble on se contente d'un critère simplifié. Il est très difficile, pour un $c$ quelconque, de prévoir si la suite divergera ou non. Pour dessiner l'ensemble on se contente d'un critère simplifié.
  
 +  * On fixe la valeur de $c$ pour laquelle on veut l'ensemble de Julia. Par exemple $c = (0,3\,;\,0,5)$.
   * On sait d'abord que si $|z_n| = \sqrt{x_n^2 + y_n^2} \geq 2$ alors la suite diverge.   * On sait d'abord que si $|z_n| = \sqrt{x_n^2 + y_n^2} \geq 2$ alors la suite diverge.
   * On se fixe un nombre $N$, par exemple $N = 50$ ou $N = 500$.   * On se fixe un nombre $N$, par exemple $N = 50$ ou $N = 500$.
-  * On choisit la valeur de $c$ à tester,+  * On choisit la valeur de $z_0$ à tester,
   * on calcule les termes $z_n$ avec $0 \geq n \geq N$,   * on calcule les termes $z_n$ avec $0 \geq n \geq N$,
-  * si on trouve un $|z_n| \geq 2$, alors c'est terminé, cette valeur de $c$ n'est pas dans l'ensemble. On pourra la représenté en blanc. +  * si on trouve un $|z_n| \geq 2$, alors c'est terminé, cette valeur de $z_0$ n'est pas dans l'ensemble. On pourra la représenté en blanc. 
-  * sinon, on considère que $c$ est est dans l'ensemble et on pourra le représenter en noir.+  * sinon, on considère que $z_0$ est est dans l'ensemble et on pourra le représenter en noir.
  
 ===== Implémentation ===== ===== Implémentation =====
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 ITERATIONS = 50 ITERATIONS = 50
  
-def is_mandelbrot(cx:float, cy:float) -> bool:+def is_julia(cx:float, cy:float, z0x:float, z0y:float) -> bool:
     '''     '''
-    cx, cy: coordonnées du point c testé +    cx, cy: coordonnées du c choisi 
-    renvoie True si c est dans l'ensemble de Mandelbrot+    z0x, z0y: coordonnées du z0 testé 
 +    renvoie True si z0 est dans l'ensemble de Julia associé à c
     '''     '''
 </code> </code>
Ligne 138: Ligne 136:
  
 <code python> <code python>
-draw('mandelbrot.png', 0, 0, 800, 600, 0.01)+draw('julia.png', 0, 0, 800, 600, 0.01)
 </code> </code>
  
Ligne 148: Ligne 146:
  
 <code python> <code python>
-def mandelbrot_score(cx:float, cy:float) -> float:+def julia_score(cx:float, cy:float, z0x:float, z0y:float) -> float:
     '''     '''
-    cx, cy: coordonnées du point c testé+    cx, cy: coordonnées du c choisi 
 +    z0x, z0y: coordonnées du z0 testé
     renvoie un score entre 0 et 1     renvoie un score entre 0 et 1
       0 pour un point dans l'ensemble       0 pour un point dans l'ensemble
Ligne 173: Ligne 172:
  
 Il y a beaucoup de possibilités, on peut les trouver [[https://matplotlib.org/stable/tutorials/colors/colormaps.html|ici]]. Par exemple, vous pouvez essayer ''%%mpimg.imsave(filename, img, cmap="plasma")%%'' Il y a beaucoup de possibilités, on peut les trouver [[https://matplotlib.org/stable/tutorials/colors/colormaps.html|ici]]. Par exemple, vous pouvez essayer ''%%mpimg.imsave(filename, img, cmap="plasma")%%''
 +
 +===== Les complexes dans Python =====
 +
 +Python prend nativement en charge les complexes : pour $z = 4 + 5i$, il suffira d'écrire ''z = 4 + 5j''.
 +
 +Attention, si c'est $z = 4 + i$, il faut écrire ''z = 4 + 1j'' pour permettre à Python de reconnaître qu'on parle d'un complexe.
 +
 +On pourra ensuite faire tous les calculs désirés. En particulier, pour $|z|$ il suffit d'écrire ''abs(z)''.
 +
 +<code python>
 +>>> z = 2 + 3j
 +>>> c = 1 + 1j
 +>>> z**2 + c
 +(-4+13j)
 +>>> abs(z)
 +3.6055512754639896
 +</code>
  
 ===== Solutions dans d'autres langages ===== ===== Solutions dans d'autres langages =====
  
-  * [[nsi:langages:processing:solutions:mandelbrot|Processing]] +  * [[nsi:langages:processing:solutions:julia|Processing]] 
-  * [[nsi:langages:js:solutions:mandelbrot|Ensemble de Mandelbrot]]+  * [[nsi:langages:js:solutions:julia|Ensemble de Mandelbrot]]
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