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nsi:tds:cryptographie:ecc

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nsi:tds:cryptographie:ecc [2023/04/11 22:42] – [Fichier de base] goupillwikinsi:tds:cryptographie:ecc [2023/05/08 16:53] (Version actuelle) – [Nombre plutôt que point] goupillwiki
Ligne 183: Ligne 183:
 Par exemple, pour $a=-1$, $b = 1$ et $p = 502181$, on trouve que si $x = 97$, $y^2 = 410\,396$ dont une racine modulaire est $285\,923$. Le point $(97\,;\,285\,923)$ est donc sur la courbe. Il y a beaucoup de points. On peut choisir $x$ au hasard, calculer $y^2$, vérifier si $y^2$ est un résidu quadratique (càd si on peut calculer $y$), si oui calculer $y$ sinon essayer un autre $x$. Par exemple, pour $a=-1$, $b = 1$ et $p = 502181$, on trouve que si $x = 97$, $y^2 = 410\,396$ dont une racine modulaire est $285\,923$. Le point $(97\,;\,285\,923)$ est donc sur la courbe. Il y a beaucoup de points. On peut choisir $x$ au hasard, calculer $y^2$, vérifier si $y^2$ est un résidu quadratique (càd si on peut calculer $y$), si oui calculer $y$ sinon essayer un autre $x$.
 </WRAP> </WRAP>
 +
 ==== Fichier de base ==== ==== Fichier de base ====
  
Ligne 361: Ligne 362:
   * $M = R - s\cdot T$   * $M = R - s\cdot T$
 c'est fini, Bob a $M$. c'est fini, Bob a $M$.
 +
 +<WRAP tip>
 +Le point $D$ est le point de base. Quand les cryptographes choisissent une courbe elliptique, ils choisissent ce $D$ avec soin. En effet, quand on calcule $n\times D$, on génère des points différents mais on finit par trouver un certain $n$ tel que $n\times D = P_0$ de sorte qu'après cela, on reboucle sur les mêmes points. Si on veut que le chiffrement soit fort, il faut que ce bouclage arrive pour $n$ très grand.
 +</WRAP>
  
 ==== Pourquoi ça marche ? ==== ==== Pourquoi ça marche ? ====
Ligne 380: Ligne 385:
 La connaissance du nombre premier $p$ et de la courbe choisie sont important mais ces éléments sont déjà contenus dans notre classe ''%%Point%%''. On pourra donc supposer que Alice et Bob ont déjà ces informations en main. La connaissance du nombre premier $p$ et de la courbe choisie sont important mais ces éléments sont déjà contenus dans notre classe ''%%Point%%''. On pourra donc supposer que Alice et Bob ont déjà ces informations en main.
  
-Faire le test en choisissant ''%%p = 17%%'', ''%%d = 5%%'', ''%%s = 12%%'' et ''%%M = Point(5,11)%%''.+Faire le test en choisissant ''%%p = 17%%'', ''%%D = Point(3,8)%%'', ''%%s = 12%%'' et ''%%M = Point(5,11)%%''. 
 + 
 +==== Nombre plutôt que point ==== 
 + 
 +Quand on écrit la clé ou le message dans un fichier comme un certificat, on peut trouver gênant d'avoir à l'écrire sous forme d'une paire $(x;y)$. 
 + 
 +Il existe une astuce : comme on l'a expliqué, connaissant $x$, on peut calculer $y^2$ et en déduire $y$. Pour une valeur de $x$ donné, avec $p$ impair, il y a toujours deux $y$ possibles : $y_1$ et $y_2$ et on a toujours $y_1 + y_2 = p$ de sorte que $y_1$ et $y_2$ n'ont pas la même parité (l'un est pair et l'autre impair). 
 + 
 +Ainsi si on donne la valeur de $x$ et que l'on précise pair ou impair, on peut déduire de façon unique la valeur de $y$ correspondante. 
 + 
 +Ainsi, on peut résumer la paire $(x;y)$ en un seul nombre : 
 +  * $k = 2\cdot x$ pour le cas $x$ avec le $y$ pair, 
 +  * $k = 2\cdot x + 1$ pour le cas $x$ avec le $y$ impair 
 + 
 +Dans l'autre sens, on fait : 
 +  * $x = k \div 2$ 
 +  * on cherche les solutions $y$ telles que $y^2 = x^3 + a\cdot x + b$ 
 +  * si $k$ pair on retient le $y$ pair, si $k$ impair, on retient le $y$ impair.
nsi/tds/cryptographie/ecc.1681245749.txt.gz · Dernière modification : de goupillwiki